極限的嚴謹定義

「對於任意給定的ε，必能找到對應的δ，使得 0 < |x - a| < δ 則 |f(x) - L| < ε」。 L 是當 x 趨近於 a 時的極限值，若以上條件成立，則證明 L 的確為 x 趨近於 a 的極限值。

假設有一函式 f(x) = 2x + 3 ，證明 lim x->2 f(x) = 7 ：
|f(x) - 7| < ε => |2x - 4| < ε => 2|x - 2| < ε
又|x - 2| < δ 故 2|x - 2| < 2δ，所以 2δ = ε
當 0 < |x - 2| < δ 則 2|x - 2| < 2δ，又 2δ = ε
因此 2|x - 2| = |2x - 4| = |2x + 3 - 7| = |f(x) - 7| < 2δ = ε

我只想問，這樣證有什麼意義嗎！？

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「把積木拆掉再組裝回去」這個譬喻真棒...